1/1^2+1/2^2+...+1/n^2<2

1/1^2+1/2^2+1/3^2...+1/n^2
<1+1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[(n-1)*n]
=1+1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+...+1/(n-1)-(1/n)
=1+1-(1/n)
=2-(1/n)
<2.

放缩法

运用放缩的方法
首先1/n^2<1/n(n-1)进行放缩 第一项不变 其他项按照以上方法放缩
可以得到1/1^2+1/2^2+1/3^2...+1/n^2<1+1/1*2+1/2*3....+1/n(n-1)然后裂项按照1/n(n+1)=1/n-1/n+1
得到上式=1+1-1/2+1/2-1/3....+1/n-1-1/n=2-1/n-1<2
证明完毕

1/1^2+1/2^2+1/3^2...+1/n^2
<1+1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[(n-1)*n]
=1+1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+...+1/(n-1)-(1/n)
=1+1-(1/n)
=2-(1/n)
<2.
或
运用放缩的方法
首先1/n^2<1/n(n-1)进行放缩 第一项不变 其他项按照以上方法放缩
可以得到1/1^2+1/2^2+1/3^2...+1/n^2<1+1/1*2+1/2*3....+1/n(n-1)然后裂项按照1/n(n+1)=1/n-1/n+1
得到上式=1+1-1/2+1/2-1/3....+1/n-1-1/n=2-1/n-1<2
证明完毕